Maths de Sir Arthorus : de la Suite dans les idées

Edit MIKE : Hop, on passe tout çà en hors-sujet... pas au pilori !

Mike89 a écrit:

c'était une épreuve pour Sir Arthorus (entrainement au bac... si c'est au programme).

Amusant que tu écrives cela car j'ai copié collé tes données et tes explications (en les modifiant un peu comme mettre le symbole théta à la place de ton T) puis les ai imprimé afin de résoudre ce problème dans de bonnnes conditions, dans l'optique d'un entraînement au bac S.

L'ennui, c'est que certains aspects que tu évoques sont hors de ma connaissance, ce qui ne m'empêche pas de tenté de comprendre ta démarche (qui est plutôt bonne ) et d'essayer de résoudre ton problème. Tu parlais d'équation de cercle en coord polaires, c'est à dire équation paramétrique (que je n'ai pas encore vu) ? Car je suppose que l'équation cartésienne (xO-xA)²+(yO-yA)²=r² ne te convient pas ...

Pour la rotation, à partir de Mardi je pourrai mieux assimiler ce que tu a fait.

Sir Arthorus a écrit:

Mike89 a écrit:

c'était une épreuve pour Sir Arthorus (entrainement au bac... si c'est au programme).

Tu parlais d'équation de cercle en coord polaires, c'est à dire équation paramétrique (que je n'ai pas encore vu) ? Car je suppose que l'équation cartésienne (xO-xA)²+(yO-yA)²=r² ne te convient pas ?

L'équation du cercle centré en (O, x y) en coordonnées polaires est donnée par le système (avec accolade) :

| x= R cos théta + 2kpi
| y = R sin théta + 2kpi , k E Z

R est le rayon et théta, l'angle entre le "rayon tournant" et Ox
Ce qui est cohérent avec l'équation cartésienne, tu ne trouve pas ? Enfin, à une translation de repère près !

Cela permet de passer à la cinématique en faisant intervenir le temps pour un mouvement circulaire uniforme... à vitesse angulaire (ou pulsation) constante.
On désigne par Oméga la vitesse angulaire ou pulsation (en physique, il s'agit de radians/seconde avec la relation oméga = 2 pi / T, T étant la période avec T= 1/fréquence... voir élec)

| x= R cos Omega t + 2kpi
| y = R sin Omega t + 2kpi

Ceci est l'équation paramétrique du mouvement circulaire uniforme d'un objet ponctuel. (En physique ce paramètre s'appelle bien sûr le temps...)

Dans mon cas TESCS

On a bien l'angle parcouru pendant une frame de temps Dt donné par :
Dtheta = Omega * Dt (Dt = GetDecondsPassed, et Omega choisi).

Ancienne position connue :

x0 = R cos theta ---> donné par x0 = objref.GetPos X
y0 = R sin theta ---> donné par y0 = objref.GetPos Y

De plus on connait donc R = Bateauref.getdistance objref (cela évite le racine de...)

Nouvelle position :

x1 = R cos (theta + Dtheta)
y1 = R sin (theta + Dtheta)

la suite c'est de la trigo... vue plus haut.

Pour les développements limités, c'est une technique de calcul qui permet d'approcher certaines fonctions par une forme polynomiale... C'était au programme de terminale autrefois, je ne sais pas si cela l'est aujourd'hui. Je dis bien approcher car il s'agit (en théorie) d'une convergence.
En pratique à partir d'un certain nombre de termes, il n'y a plus convergence (on ne calcule pas avec des nombres réels... même pas avec des rationnels... troncature).

Equations paramétriques la semaine prochaine...

Développements limités ???

(désolé, arth...), j'ai glissé sur un bouton avec un de mes tentacules.

Désolé Arth... j'ai cassé ton message ! Cela faisait longtemps que... je n'avais pas...

Les développements limités sont une notion proches de celle de somme d'une série (développement en série).
Les critères d'existence d'un développement limité sont seulement plus "souples" que ceux d'un développement en série.

Je ne veux pas jouer l'oiseau de mauvaise augure mais il y a bien longtemps qu'on enseigne plus les DL au lycée... Même si ce n'est pas quelque chose de compliqué en soit. Paradoxalement, on fait pourtant un DL en Terminale S... et c'est en physique. Lorsque les élèves voient l'équation d'un pendule simple, on ne considère que des "petits angles" pour que le sinus de x soit "presque égal" à x... un DL sans le dire

Fin du HS...

Meseira a écrit:

Je ne veux pas jouer l'oiseau de mauvaise augure mais il y a bien longtemps qu'on enseigne plus les DL au lycée... Même si ce n'est pas quelque chose de compliqué en soit. Paradoxalement, on fait pourtant un DL en Terminale S... et c'est en physique. Lorsque les élèves voient l'équation d'un pendule simple, on ne considère que des "petits angles" pour que le sinus de x soit "presque égal" à x... un DL sans le dire

Fin du HS...

Oui... Merci Meseira. Qu'on le fasse en physique cela ne m'étonne pas. Les physiciens ont toujours besoin de bricoler les maths. Un développement limité au premier ordre...
sin a = a = tg a, avec a "petit" et en radians bien sûr.

Moi j'ai besoin de l'ordre 2 ou 3... pour 8 chiffres significatifs. J'ai simulé cela avec EXCEL.

Donc désolé Arth, les développement limités sont hors-programme. C'est bien ce qiue j'avais cru comprendre en feuilletant le BO (bulletin officiel) concernant les programmes de S.

Mais l'exercice devrait te passionner... si tu aimes les maths.
J'ai rajouté pas mal d'explications au fil du sujet... J'espère que tu as vu les schémas...

Bientôt la solution à mes enchaînements de destinations et de rotations-translations.

C'est un petit problème qui utilise la cinématique du point, la trigo... sympa, non ?

Mike89 a écrit:

les développement limités sont hors-programme

Dommage, mais bon ... ce n'est pas parce que c'est hors programme que je ne verrai pas la notion cette année

Par contre j'ai une question à vous poser : lors de l'étude de diffraction de la lumière, lorsqu'on considère que tanA = A (diffraction d'un laser avec l'obtention d'une figure sur un écran du style ----- + -----), cela relève encore du dév limité ?

Mike89 a écrit:

8 chiffres significatifs

Autant ? Même nous, nous ne travaillons pas avec tant de chiffres (ou peut être juste pour la physique nucléaire). Pour quoi as-tu ce besoin ?

Mike89 a écrit:

Mais l'exercice devrait te passionner... si tu aimes les maths.

Ayant pris spécialité Maths, il est sûr que je porte un plus grand intérêt à ton problème de trigo que si tu avais posté un problème de génétique (bien que la génétique soit par ailleurs fort intéressante).

Mike89 a écrit:

J'espère que tu as vu les schémas

Oui, mais je n'avais pas fait les mêmes (car j'en avais fait !!!).

Mike89 a écrit:

Désolé Arth... j'ai cassé ton message !

Mince alors ! Et dire que j'avais posté la solution dans ce message précisément ! Et comme j'ai jeté tous mes brouillons, je vais devoir tout recommencer

Mike89 a écrit:

C'est un petit problème qui utilise la cinématique du point, la trigo... sympa, non ?

Sympa, mais pas évident à comprendre : l'accumulation de transformation du point n'est pas ce qui se fait de plus simple en trigo (mais heureusement, notre prof de Maths nous a permis, dans sa graaaande bonté, de me faire voir qu'elle pouvait donner des exos encore pires que ceux de Mike ^^ ).

Sir Arthorus, si tu veux un "petit cours" sur les développements limités, tu peux aller voir à cette adresse:

http://www.les-mathematiques.net/a/d/b/node4.php3

C'est un peu formel peut-être pour un élève de terminale mais c'est à peu près complet. D'ailleurs, ce site (www.les-mathematiques.net) est assez bien fait dans le genre "vulgarisation pas trop vulgarisée" des mathématiques .

Sinon pour ton tan(a) "égal" à a, c'est en effet le même truc qui est utilisé. Au lieu de "égal", c'est "équivalent" qu'il faudrait dire. En fait, bien qu'on ne parle pas de DL au lycée (sauf un peu en physique... mais mal, comme d'hab' avec la physique ), il y est tout de même fait allusion de façon correcte en math. Cela intervient lorsque qu'on parle de l'équation de la tangente en un point d'une courbe. On te dit qu'elle a une équation de la forme y=ax+b où b est à calculer par tes soins et le coef a est égal à la dérivée de la courbe au point tangent. Ce qu'on ne dit pas en terminale, c'est que la courbe et la tangente sont "équivalente" au point tangent, c'est-à-dire que leur rapport tend vers 1 quand x tend vers ce point tangent. C'est la définition de l'équivalence et elle se prolonge aux dérivées suivantes. C'est-à-dire qu'en un point particulier de la courbe, si celle-ci est assez "régulière" (ie: elle admet des dérivées successives), on peut l'approcher par un polynôme. Les coefficients de ce polynôme sont très liés aux dérivées successives de ta fonction.

Je ne sais pas si je suis très clair (il est un peu tard...) alors je vais prendre un exemple. La fonction f(x)=sin(x) dont nous parle Mike. Regardons-la en x=0. Tu sais que f(0)=sin(0)=0 et f'(0)=cos(0)=1. Donc la tangente à la courbe de f en x=0 a pour équation y=f(0)+f'(0)x=0+1x=x. Cette démarche se prolonge aux dérivées suivantes (à condition qu'elles existent... mais ça, ce n'est pas un problème pour le sinus puisqu'on peut le dériver infiniment). On cherche un polynôme du second degré, notons-le g(x), qui "colle" au mieux à notre fonction f(x). Si j'écris g(x)=ax^2+bx+c, j'ai g'(x)=2ax+b et g''(x)=2a. La notion de dérivation correspond à l'idée de "proximité" des courbes, la tangente par exemple. Pour choisir g assez proche de f "au deuxième ordre", il va me falloir choisir a tel que f''(0)=g''(0), ie: 2a=g''(0)=f''(0)=-sin(0)=0. Je vais prendre a=0 et j'obtiens que le développement limité de sin(x) en 0 au deuxième ordre vaut f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2=0+1x+0x/2=x. Ensuite, on peut passer au troisième ordre (après j'arrête, promis...). On cherche un polynôme du troisième degré h(x)=ax^3+bx^2+cx+d tel que h'''(0)=f'''(0). Or h'''(0)=3*2*a et f'''(0)=-cos(0)=-1. On prend donc a =-1/(3*2)=-1/6. Le développement limité du troisième ordre de sin(x) en 0 vaut donc f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2+f'''(0)x^3/(3*2)=x-x^3/6. Ainsi de suite, tu peux continuer tant que ta fonction reste dérivable en 0. L'idée des développements limités est que, localement, toute fonction assez régulière ressemble à un polynôme et que ce polynôme est unique (théorème non trivial...) avec pour coefficient d'ordre n (ie: le facteur de x^n) f(n)(0)/n! où f(n) est la dérivée n-ième de f et n!=n*(n-1)*...*3*2*1.

Voilà, pour y voir plus clair, je t'invite à jeter un oeil au lien que j'ai mis en dessus et si tu as des questions, surtout n'hésite pas... Il s'agit là d'un outil très utile en math et dans les autres sciences.

Bonne nuit à tous!

Meseira a écrit:

Sir Arthorus, si tu veux un "petit cours" sur les développements limités, tu peux aller voir à cette adresse:

http://www.les-mathematiques.net/a/d/b/node4.php3

C'est un peu formel peut-être pour un élève de terminale mais c'est à peu près complet. D'ailleurs, ce site (www.les-mathematiques.net) est assez bien fait dans le genre "vulgarisation pas trop vulgarisée" des mathématiques .

On va bientôt sur ce forum faire une prépa à maths-sup maths-spé... Pas de raison qu'il n'y ait que les élèves de Louis-le-Grand et quelques autres qui y aient droit !
Ce qu'expose Meseira est la formule (théorème) de Taylor... établie par un certain Brook Taylor en 1712 ! Et c'est la base des développements limités, séries de taylor, et du calcul différentiel ! A cette date M. Louis le Grand (le XIVème) était encore en vie. (Enfin, je ne vois pas le rapport... si avec LLG susdit).

Pour mémoire, Louis XIV, ce triste sire , par la révocation de l'édit de Nantes en 1685 avait contraint Abraham de Moivre (entre autres) à l'exil, pour cause de "religion prétenduement réformée". Petite remarque : il était interdit aux protestants de s'exiler, mais ils devaient obligatoirement se convertir... Ce Louis le Grand, n'était pas bien large d'esprit !
Abraham de Moivre est l'auteur à la même époque que Taylor de développements en analytique et en probabilités. D'où une première expression en 1707 de ce qui est connu actuellement comme la formule de De Moivre :

Là cela tourne rond, non ? Celà doit te dire quelque choe, hein Sir Arth ?

En conclusion, pour consacrer la victoire des mathématiques sur l'obscurantisme dévot, je propose de renommer le lycée LLG en Lycée ADM (Abraham de Moire).


Petite remarque : Brook Taylor n'a aucun lien de parenté avec Charles Taylor, ancien "président" du Libéria.

Pour mémoire :
1980 : Le sergent-chef Samuel Doe fait éventrer le président Tolbert alors que celui-ci dormait paisiblement dans son lit.Tolbert avait fait réprimer une manifestation contre la hausse du prix du riz (une centaine de mort !).
Doe devient président, et fait assassiner en public tout le gouvernement... Il reçoit alors le soutient du président Reagan...
1989: Début de 8 ans de guerre civile. Charles Taylor s'empare d'une partie du pays. Ce "brave" homme est diplomé en écomomie du Bentley Collège (USA). Il était l'un des hommes de confiance du président Doe, mais dû s'exiler après avoir détourné environ un million de dollars...
1990 : "Prince" Johnson, un lieutenant de Charles Taylor, s'empare de Doe, lui fait couper les oreilles, le sexe, et trainer dans les rues de Monrovia... L'évévement est filmé et diffusé sur toutes les télévisions du monde (je m'en souviens !). On peut voir Johnson particulièrement amusé par le spectacle du président "coupé en quatre"... au moins, et buvant une bière. Je ne me souviens pas de la marque de la bière.
1997 : Après moult viols, massacres, amputations, réductions en esclavage, et trafics de diamants, bien sûr... Taylor est élu président ! Par la suite la répression de toute opposition fait 150 000 morts.
Il soutient une faction dans la guerre civile du Sierra Leone voisin. Nouveaux massacres, amputations, viols, esclavages sexuels... et trafics de diamants.
Total 400 000 morts.
Taylor quitte le pouvoir en 2003, et son procès est en cours à La Haye.

Moralité de cette histoire : si vous vous appelez Taylor, faites des maths, pas de l'économie sinon vous ferez la Guerre !

Morale de cette morale : supprimons des manuels d'enseignement de l'anglais pour débutants la phrase "My tailor is rich". Cela donne des idées malsaines à certains individus.

Corollaire de ces morales : par mesure de précaution, quel que soit votre nom, faites des maths, pas de l'économie !
Autre morale : Si malgré mes recommandations, vous devenez économiste-président, n'augmentez jamais le prix du riz, et souvenez-vous que :

L'économie est la plus vaste fumisterie enseignée depuis la révocation de l'édit de Nantes, dans l'histoire des superstitions.

Autre morale : avec les maths, on peut programmer du massacre virtuel par jeu vidéo... cela fait moins mal que du massacre réél... Psychopathes de tous les pays, massacrez donc virtuellement... faites des maths ! je veux bien vous aider !
C'était le billet du jour... Et CE N'EST PAS !

Enfin tout ceci n'engage que moi, pas la Wteam !

Pas mal le cours d'histoire... je ne connaissais pas ce type.

PS: je n'ai jamais fait d'économie... mais j'ai fait croire à certains élèves que je leur apprenais à en faire... simple prétexte pour enseigner les stats de base et l'algèbre linéaire

Corollaire du corollaire: faites passer les maths pour de l'économie et vous sauverez le monde.

Meseira a écrit:

Pas mal le cours d'histoire... je ne connaissais pas ce type.

PS: je n'ai jamais fait d'économie... mais j'ai fait croire à certains élèves que je leur apprenais à en faire... simple prétexte pour enseigner les stats de base et l'algèbre linéaire

Corollaire du corollaire : faites passer les maths pour de l'économie et vous sauverez le monde.

C'est du beau !

Au fait quel type ? Taylor, De Moire ou Taylor ?

Enfin ! Charles Taylor, l'un des bouchers de l'Afrique de ces 20 dernières années (qui crie son innocence à grands renfort de diamants et d'avocats). Oui le tribunal pénal international n'a pas réussi à faire bloquer tous ses comptes dans le monde... la main invisible, sans doute ! Il est vrai que Charles Taylor est moins célèbre médiatiquement que MILOSEVITCH ou Saddam Hussein, normal c'était en Afrique, et il est à demi-américain, et formé... était soutenu par... Chut !!!

Mike89 a écrit:

On va bientôt sur ce forum faire une prépa à maths-sup maths-spé... Pas de raison qu'il n'y ait que les élèves de Louis-le-Grand et quelques autres qui y aient droit !

Très bonne idée ! Comme ça, je serai près pour l'année prochaine.

Meseira a écrit:

Sir Arthorus, si tu veux un "petit cours" sur les développements limités, tu peux aller voir à cette adresse:

http://www.les-mathematiques.net/a/d/b/node4.php3

C'est un peu formel peut-être pour un élève de terminale mais c'est à peu près complet. D'ailleurs, ce site (www.les-mathematiques.net) est assez bien fait dans le genre "vulgarisation pas trop vulgarisée" des mathématiques .

J'irai faire volontier un tour, d'autant plus s'il parle des équations diophantiennes (rien à voir avec le problème de trigo de Mike, je sais, mais je suis en plein dedans et je recherche plusieurs techniques de compréhension et de résolution).

Mike89 a écrit:

Abraham de Moivre est l'auteur à la même époque que Taylor de développements en analytique et en probabilités. D'où une première expression en 1707 de ce qui est connu actuellement comme la formule de De Moivre :

Là cela tourne rond, non ? Celà doit te dire quelque choe, hein Sir Arth ?

Amusant que tu parles de Moivre car c'était au programme il y a quelques années et vu que mon bouquin de Maths date de cette époque, je pensais qu'on allait voir Moivre. Mais que nenni, c'est hors programme ...

Par contre Meseira, après avoir lu tes explications sur les DL, je me pose une question (ce qui était quasiment certain ) : que représente le deuxième et troisième ordre exactement ? C'est juste une indication du degré du polynôme que tu exploites pour faire une approximation en 0 de la fonction par un polynôme ?

Sir Arthorus a écrit:

J'irai faire volontier un tour, d'autant plus s'il parle des équations diophantiennes (rien à voir avec le problème de trigo de Mike, je sais, mais je suis en plein dedans et je recherche plusieurs techniques de compréhension et de résolution).

Bon courage si tu te penches sur ces équations... ça peux aller très loin du côté de la théorie des nombres mais c'est assez intéressant. Quand je dis "loin", c'est vraiment très loin! Par exemple, le fameux théorème de Fermat (prouvé par Wiles) correspond à une équation diophantienne particulière... mais là, il ne faudra pas trop me demander de choses

Sir Arthorus a écrit:

Par contre Meseira, après avoir lu tes explications sur les DL, je me pose une question (ce qui était quasiment certain ) : que représente le deuxième et troisième ordre exactement ? C'est juste une indication du degré du polynôme que tu exploites pour faire une approximation en 0 de la fonction par un polynôme ?

En fait, les ordres suivants ne correspondent à rien en particulier. Comme tu travailles dans le plan, seul le premier ordre peut signifier quelque chose (à considérer que le coef directeur d'une tangente soit "quelque chose" ) L'important dans l'idée des DL, c'est que tu peux toujours approcher localement une fonction par un polynôme et que tu y arriveras d'autant mieux que le degré de ce polynôme est grand. Si tu regardes les théorèmes de Taylor, tu verras qu'on y parle de "reste", c'est-à-dire de l'erreur commise entre notre polynôme et la vraie fonction. Cette quantité tend vers 0 quand le degré du polynôme est grand. C'est un cas particulier d'un théorème célèbre dû à Weierstrass qui dit que les polynômes sont denses dans l'espace des fonctions continues sur [0,1]. "Denses" signifient que toute fonction continue sur [0,1] peut être vue comme une limite de polynômes. C'est un résultat important car il permet de travailler avec toutes les fonctions continues en ne regardant que les polynômes par exemple (et sous quelques petites restrictions ).

Une autre conséquence des DL sont les séries entières (sous quelques hypothèses sur les fonctions étudiées)... On en reparlera un de ces quatres si tu veux.

Meseira a écrit:

Une autre conséquence des DL sont les séries entières (sous quelques hypothèses sur les fonctions étudiées)... On en reparlera un de ces quatres si tu veux.

Avec plaisir, mais si tu fais encore des Maths sur ce forum, je crains que cela ne soit plus reposante pour toi. Moi, les Maths, j'ai signé pour être dedans 24h/24 et 7j/7, donc j'en parle avec plaisir.

Si j'ai dû prendre des libertés avec le boulot pour la WTeam, c'est justement parce que pour moi aussi, les maths, c'est (presque) 24/24 et 7/7
Ca prend du temps une thèse...

J'aurais aimer avoir des amis comme Sydney coleman, Srinivasa Ramanujan, Pythagore, Thalès ou au moins une parti de leurs cerveau